Mathematik – Lennart Meier, Universität Bonn

Titel der Dissertation: Vereinigte Elliptische Homologie

Geometrie durch die Augen der Algebra
Lennart Meier, geboren 1987, studierte Mathematik in Bielefeld und in Bonn. Schon während der Vorlesungen, die er während seiner Schulzeit besuchte, entwickelte sich sein Interesse an der algebraischen Topologie. Die Probleme geometrischer Formen, die mitunter mit rein geometrischen Methoden unlösbar erscheinen, werden in algebraische Probleme übersetzt, die oft einfacher zu behandeln sind. Vergleichsweise gut berechenbare algebraische Invarianten sind sogenannte Homologietheorien.

Um immer tiefer in die geometrische Probleme vorzustoßen, muss man immer kompliziertere Homologietheorien konstruieren. Es stellt sich heraus, dass es sinnvoll ist, dazu Methoden der algebraischen Geometrie zu verwenden. Die algebraische Geometrie betrachtet Nullstellengebilde von Polynomen, also z. B. die Nullstellen von y² = x³+x. Die Nullstellen von solchen und ähnlichen Gleichungen bilden sogenannte elliptische Kurven, deren gedankliche Ursprünge in der komplexen Analysis des 19. Jahrhunderts liegen. Diese kann man benutzen, um sogenannte elliptische Homologietheorien zu definieren.

Eines der wichtigsten Probleme für die Topologie ist, zu bestimmen, was es für Funktionen zwischen zwei Räumen gibt. Da es eine unüberschaubare Menge von Funktionen gibt, betrachtet man sie nur bis auf stetige Verformung, die man auch als Homotopien bezeichnet. So kann man beispielsweise den Kreis, wenn er in einer Ebene mit Loch einmal um das Loch geht, nicht so verformen, dass er nicht mehr um das Loch geht, während man in einer Ebene ohne Loch alle Kreise ineinander verformen kann. Da es immer noch sehr schwer ist, die Menge aller Homotopieklassen von Funktionen zu berechnen, zerlegt man diese Menge in einfachere Teile. Die Relevanz von elliptischen Homologietheorien rührt unter anderem daher, dass man mit ihrer Hilfe, eine Stufe dieser Zerlegung beschreiben kann.

Um wirklich konkrete Berechnungen durchzuführen, ist es notwendig, eine Klasse von vergleichsweise einfachen Varianten von elliptischen Homologietheorien herauszusuchen, so dass man sich bei Rechnungen auf diese beschränken kann. Das Ziel der Dissertation von Lennart Meier ist es, diese Varianten zu finden, zu klassifizieren und zu zeigen, wie man sie für konkrete Berechnungen einsetzen kann. Betreut wird er von Professor Dr. Stefan Schwede von der Universität Bonn.