Mathematik – Stephan Mescher , Universität Leipzig

Titel der Dissertation: Symplektische Floer-Homologie und die Topologie von Schleifenräumen

Symplektische Geometrie

Stephan Mescher, geboren 1984, studierte nach seinem Abitur Mathematik an der Universität Bielefeld. Während des Studiums entdeckte er schon früh ein großes Interesse für Fragestellungen der Geometrie. Ein besonderes Faible entwickelte er für Morse-Theorie, in der mit Methoden der Analysis Aussagen über den Aufbau von Räumen und Körpern getroffen werden. Herrn Mescher fasziniert hierbei die Verbindung von rechnerischen Methoden und anschaulicher Geometrie.

Nach Abschluss seines Diplomstudiums begann Stephan Mescher im Mai 2008 eine Promotion bei Prof. Matthias Schwarz an der Universität Leipzig. Prof. Schwarz beschäftigt sich mit symplektischer Floer-Homologie, einem Teilgebiet der Geometrie, welches sich Herr Mescher für seine Promotion ausgesucht hat. Symplektische Geometrie hat ihre Ursprünge in der klassischen Mechanik und geht aus der Geometrie so genannter Hamiltonischer Dynamischer Systeme hervor. Diese werden in der Physik zur Beschreibung von Bewegungen im zeitlichen Verlauf benutzt. Zu ihnen zählen zum Beispiel die klassische Himmelsmechanik wie auch Bewegungen von Elementarteilchen.

Bei der mathematischen Beschreibung dieser Hamiltonischen Systeme wurde eine Verallgemeinerung auf Mannigfaltigkeiten ausgearbeitet. Darunter versteht man geometrische Objekte, bei denen kleine Ausschnitte die Struktur eines „einfachen“ Raumes besitzen, bei denen jedoch bei einer Betrachtung im Großen Phänomene wie Krümmung auftreten können. Ein Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist etwa die Erdoberfläche, die bei der Betrachtung kleiner Gebiete aussieht wie eine Scheibe, als Ganzes jedoch in sich geschlossen ist und keinen Rand besitzt.

Die Grundidee bei der symplektischen Geometrie ist, Mannigfaltigkeiten analog zur Hamilton-Geometrie nach den mechanischen Gesetzen zu klassifizieren, die in ihnen gelten. Ein wichtiges Werkzeug in der aktuellen Forschung ist dabei die Floer-Homologie, die auf der Morse-Theorie aufbaut und dadurch auch das Interesse von Herrn Mescher geweckt hat. Sie ermöglicht es, symplektischen Räumen Invarianten zuzuordnen, durch deren Berechnung man bereits wichtige Aussagen über die Räume selbst treffen kann. In seiner Promotion beschäftigt sich Stephan Mescher mit der Frage, auf welche Weise man der Floer-Homologie Strukturen zuordnen kann, die es ermöglichen, mit diesen Invarianten weiterführende Rechnungen anzustellen. Dazu möchte er die sogenannte Hochschild-Homologie untersuchen, welche helfen soll, die Floer-Homologie besser zu verstehen.