Mathematik – Jingwei Zhao, Universität Karlsruhe

Titel der Dissertation: Kritische Werte von L-Funktionen zu nicht-cuspidalen Jacquet-Gelbart-Lifts

Faszination der L-Funktionen
Jingwei Zhao, Jahrgang 1981, studierte Mathematik an der Universität Karlsruhe und promoviert anschließend bei Prof. C.-G. Schmidt am Institut für Algebra und Geometrie. Im Rahmen ihrer Dissertation beschäftigt sie sich derzeit mit speziellen Werten der L-Funktionen.

Das Studium von L-Reihen gehört untrennbar zur modernen Zahlentheorie. Hierbei gibt es verschiedene Phänomene, die eine Rolle spielen. Das bekannteste ist die Riemannsche Vermutung, die eine Aussage über die Lage der Nullstellen der Riemannschen ζ-Funktion oder allgemeiner von arithmetisch definierten L-Reihen macht. Weniger spektakulär und trotzdem von großer Bedeutung ist eine Reihe von Vermutungen, die sich mit dem arithmetischen Charakter der Funktionswerte der L-Reihe an einigen besonders reizvollen Stellen beschäftigt, deren genaue Lage etwas mit der jeweiligen Herkunft der L-Reihe zu tun hat. Man denke etwa an Eulers Formel für die Werte der ζ-Funktion bei geraden natürlichen Zahlen.
Neben den klassischen L-Reihen mit unmittelbar zahlentheoretischer Natur gibt es auch sogenannte automorphe L-Reihen, die zu gewissen Darstellungen adelischer Gruppen assoziiert werden können. Die Vermutung von Langlands thematisiert die Erwartung, dass diese zwei Klassen von L-Reihen im wesentlichen übereinstimmen. Die vermutete Funktorialität der Entsprechung sorgt dafür, dass zum Beispiel für zwei automorphe Darstellungen von zwei gegebenen Untergruppen einer größeren Gruppe eine automorphe Darstellung für die größere Gruppe existieren sollte, die sich ähnlich wie das Tensorprodukt der beiden gegeben verhält. Insbesondere hat man sehr detaillierte Erwartungen an die L-Reihe dieser Darstellung.
Im Spezialfall, dass man GLn−1 in naheliegender Weise als Untergruppe von GLn auffasst, kann man immerhin die L-Reihe zur hypothetischen Darstellung konstruieren. Das Verfahren hierzu geht auf Jacquet und Piatetski-Shapiro zurück und überträgt eine Konstruktion aus der klassischen Theorie der Modulformen in den automorphen Kontext: die Rankin-Selberg-Konvolution.

Bisher wurde beim Studium spezieller Werte von Rankin-Selberg-Konvolutionen stets vorausgesetzt, dass die beteiligten automorphen Darstellungen einer bestimmten Bedingung genügen, dass sie nämlich cuspidal sind. In meiner Arbeit möchte sie diese Bedingung zumindest für die Darstellung von GLn fallen lassen und untersuchen, inwieweit die bekannten Resultate auch dann noch gelten. Konkret möchte sie die Rankin-Selberg-Konvolutionen von Jacquet-Gelbart-Lifts untersuchen, einem Typ von Darstellungen von GL3 , der bereits gut untersucht ist, und von dem man auch die nicht-cuspidalen kennt.