Mathematik - Luise Fehlinger, Humboldt-Universität zu Berlin

Titel der Dissertation: Randkonstruktionen für Fefferman-Räume und CR-Mannigfaltigkeiten

Wie beschreibt man den Rand des Universums?

Luise Fehlinger, geboren 1980, beschäftigt sich in ihrer Dissertation mit der genauen mathematischen Formulierung und Untersuchung einer Konstruktion, die Physiker zur Beschreibung von schwarzen Löchern, Wurmlöchern und ähnlichen „Randphänomenen“ unseres Universums entwickelt haben. Dieses Thema fällt in den Bereich der Differentialgeometrie, für die sich Frau Fehlinger schon während des Studiums sehr interessiert hat, da viele Modelle der Physik differentialgeometrisch formuliert werden.

Eine der Grundaufgaben der Mathematik besteht in der Klassifikation von Räumen mit speziellen Strukturen.  Wenn dann ein natürliches Phänomen in der Sprache der Mathematik formuliert wird und gewisse Strukturen nachgewiesen werden, muss man nur noch in der zugehörigen Liste nachsehen, um zu wissen, wie viele Lösungsräume für das konkrete Problem in Frage kommen.

Räume können insbesondere durch zugeordnete Invarianten, wie z.B. den Rand, klassifiziert werden. Zusätzlich zur Frage der Klassifikation ist der Rand aber auch wichtig, um die oben erwähnten „Randphänomene“ überhaupt mathematisch beschreiben zu können.

In einem Raum, in dem problemlos Längen gemessen werden können, kann jeder intuitiv den Rand erkennen. Aber wie sieht der Rand aus, sobald man die Zeit mit in das Raummodell aufnimmt? Was ist überhaupt die kürzeste Verbindung zwischen dem Hörsaal morgens und der Mensa zur Mittagszeit?

Ein möglicher Ausweg besteht in der von E. Schmidt 1971 vorgeschlagenen Konstruktion, bei der dem ursprünglichen Raum auf kanonische Weise ein größerer Raum zugeordnet wird, der die intuitive, alltägliche Randbestimmung zulässt. So erhält man auch einen Rand für den ursprünglichen Raum. Schmidt hat diese Definition nur für Modelle des Universums untersucht, sie lässt sich aber auf Räume beliebiger Raum- und Zeitdimensionen und verschiedener geometrischer Strukturen übertragen.

Luise Fehlinger untersucht diese Konstruktion für konforme Räume, in denen zwar Winkel, aber keine Längen gemessen werden können und für so genannte CR-Mannigfaltigkeiten, d.h. Räume ungerader Dimension, die gewisse Ähnlichkeiten mit den komplexen Zahlen haben. Da jeder CR-Mannigfaltigkeit ein konformer Raum zugeordnet werden kann, liegt es nahe, zusätzlich die Beziehungen zwischen den Rändern der beiden Räume zu erforschen.